Marta Mazzocco: “Las matemáticas son en buena parte un juego”

Marta Mazzocco. / Foto cortesía de la autora.

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Antoni Hernández-Fernández

Marta Mazzocco desde 2024 es profesora de investigación ICREA en Barcelona, en la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), donde cofundó la unidad de excelencia SYMCREA junto con Eva Miranda. Física matemática, trabaja en sistemas integrables, en la encrucijada entre el análisis, la geometría, la física matemática y el álgebra. Se doctoró en la SISSA (Trieste) en 1998 y luego ocupó puestos en el MSRI de Berkeley, Oxford, Cambridge, Manchester, Loughborough y Birmingham, donde fundó el grupo de Geometría y Física Matemática.

Ha obtenido alrededor de 2 millones de euros en financiación para investigación, y fue Ponente Distinguida de la Sociedad Matemática Europea (EMS) en la conferencia Poisson 2024, y es miembro del consejo asesor científico del prestigioso repositiorio científico en abierto arXiv.

Marta, ante todo muchas gracias por atender a Educational Evidence. Para empezar, ¿podrías contarnos un poco sobre tu trayectoria y sobre cómo llegaste a dedicarte a las matemáticas y, en particular, a investigar en Barcelona?

Siempre me han gustado las matemáticas. En primero de primaria tuve una maestra jovencísima que nos hacía jugar con la teoría de conjuntos, y de ahí nació mi amor por esta disciplina. Aunque mis padres casi me obligaron a estudiar el liceo clásico, que en Italia era tradicionalmente considerado la mejor escuela, decidí matricularme en Física. Llegué completamente desprevenida: mis compañeros hablaban de épsilons y deltas, ¡y yo apenas sabía lo que era una función! Durante el doctorado conocí a mi marido, que entonces era postdoc en mecánica estadística. Cuando llegó el momento de solicitar postdocs, miramos juntos el mapa del mundo y pusimos banderitas donde cada uno tenía colegas en su campo. Las intersecciones eran tres: Estados Unidos, Reino Unido y Japón. Como nos sentíamos profundamente europeos, elegimos el Reino Unido (aunque pasé ocho meses en Berkeley), y allí acabamos viviendo ¡25 años! En ese tiempo cambiaron muchas cosas…

 ¿Os afectó el Brexit?

Pues sí. Catorce años de gobiernos conservadores dañaron gravemente la economía y dejaron a las universidades en una situación muy precaria. El Brexit normalizó ciertas actitudes xenófobas y el ambiente se volvió difícil de soportar. Empezamos a buscar una salida, y ICREA me la ofreció: un trabajo fantástico en una ciudad extraordinaria. Aquí, junto con Eva Miranda, pude crear SYMCREA, una unidad de excelencia en la interfaz entre geometría y física matemática, y encontrar un entorno científico muy estimulante, en una ciudad donde vivir es un placer.

Defines tu campo como “mathematical physics” y trabajas con problemas motivados por la física, pero que conducen a estructuras matemáticas abstractas. ¿Qué es exactamente la física matemática y qué la diferencia de la matemática pura o de la física teórica?

Es una pregunta difícil, porque las fronteras no son nítidas. Diría que la física teórica busca construir modelos que expliquen y predigan los fenómenos de la naturaleza, y a menudo usa métodos que no son rigurosos desde el punto de vista matemático pero que funcionan. La matemática pura, en cambio, desarrolla estructuras por sí mismas, por su coherencia interna y su belleza, sin necesidad de una motivación externa. La física matemática se sitúa entre ambas. Parte de problemas que nacen de la física, como ecuaciones, simetrías o modelos, y los estudia con todo el rigor de la matemática. Lo fascinante es que, al hacerlo, aparecen estructuras geométricas, algebraicas y analíticas de una belleza inesperada, que se encajan de una manera casi providencial y hacen que el problema sea resoluble en algún sentido. Esa es precisamente la esencia de los sistemas integrables, mi área de trabajo.

«La belleza inesperada es el momento en que estructuras que parecían pertenecer a mundos distintos resultan ser la misma cosa vista desde ángulos diferentes»

¿Qué es esa “unexpected beauty” o esa belleza inesperada que dices buscas en la resolución de problemas?

Para mí, la belleza inesperada es el momento en que estructuras que parecían pertenecer a mundos distintos resultan ser la misma cosa vista desde ángulos diferentes. Partes de un problema concreto, por ejemplo una ecuación diferencial no lineal, y de repente aparecen la geometría de un grupo de simetrías, un objeto algebraico o una construcción de la física, encajando entre sí de una forma que nadie habría podido prever. Esa sensación de que «esto no puede ser casualidad» es lo que llamo belleza.

¿Puede la belleza ser también una guía para descubrir nuevos resultados? ¿Puedes poner algún ejemplo?

Un ejemplo que marcó mi camino fue mi tesis doctoral. Estudiaba las soluciones algebraicas de la ecuación de Painlevé VI, una ecuación diferencial difícil de resolver, y resultó que se podían clasificar mediante grupos de reflexión, es decir, mediante simetrías geométricas como las del icosaedro. Así un problema de análisis terminaba hablando el lenguaje de la geometría y el álgebra, y eso no lo esperaba nadie…

Por tanto, respondiendo a la primera pregunta, sí, creo que la belleza puede ser una guía para descubrir. Cuando una estructura es demasiado elegante para ser accidental, suele indicar que detrás hay una teoría más profunda que todavía no hemos entendido. Muchos matemáticos y físicos han seguido esa intuición, y a menudo funciona. Eso sí, la belleza es una brújula y no una demostración: te dice hacia dónde mirar, pero después hay que hacer el trabajo riguroso para comprobar que la intuición era correcta. A veces lo que parecía hermoso resulta ser falso, y eso también forma parte del oficio.

«A veces lo que parecía hermoso resulta ser falso, y eso también forma parte del oficio»

Una parte relevante de tu carrera ha estado dedicada a las ecuaciones de Painlevé, que mencionabas, unas ecuaciones con propiedades matemáticas muy ricas. ¿Qué tienen de especial estas ecuaciones y por qué siguen siendo importantes más de un siglo después de su aparición?

Para entender las ecuaciones de Painlevé hay que remontarse a Sofia Kovalevskaya, a finales del siglo XIX. Cuando estudiaba la peonza (el movimiento de un sólido rígido alrededor de un punto fijo), se preguntó cuándo se puede considerar «resoluble» un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal. Su idea fue pedir que las soluciones, vistas como funciones del tiempo complejo, se puedan expandir en series de Laurent alrededor de cualquier punto del plano complejo donde la ecuación sea definida. Con ese criterio encontró un caso integrable completamente nuevo, que hoy lleva su nombre. Fue una manera profunda de detectar la integrabilidad: no mirar la forma de la ecuación, sino el comportamiento analítico de sus soluciones.

¿Pero se llaman ecuaciones de Painlevé?

Poco después, Paul Painlevé y su escuela llevaron esa idea a las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, y se preguntaron cuáles tienen la propiedad de que las singularidades móviles sean siempre polos, es decir, sin puntos de ramificación que dependan de las condiciones iniciales. Al clasificarlas, aparecieron seis ecuaciones nuevas, las de Painlevé I a VI, cuyas soluciones definen funciones nuevas, las transcendentes de Painlevé. Para las ecuaciones no lineales, desempeñan un papel comparable al de las funciones especiales clásicas, como las de Bessel o Airy, para las lineales. Lo especial de estas ecuaciones es que, siendo no lineales, tienen una estructura extraordinariamente rica. Se pueden escribir como deformaciones isomonodrómicas de ecuaciones lineales, es decir, como condiciones para que ciertos datos de monodromía permanezcan constantes. Esto las conecta con la geometría de los espacios de módulos, con simetrías de tipo grupo de reflexión y con estructuras algebraicas como las álgebras de Hecke afines dobles, en las que yo trabajo.

A ver, esto sube de nivel, desde la peonza… (risas). Para los lectores profanos…

Siguen siendo importantes más de un siglo después porque aparecen una y otra vez en contextos muy distintos: matrices aleatorias, mecánica estadística, gravedad cuántica, teoría de cuerdas y sistemas integrables. Y siguen planteando preguntas abiertas, con aplicaciones en muchos campos, por ejemplo sobre cuantización o su relación con la simetría especular, por lo que continúan atrayendo a nuevas generaciones de investigadores.

Apasionante. Tu investigación muestra conexiones creativas con formas y objetos que, a primera vista, parecen pertenecer a mundos diferentes. ¿Hasta qué punto descubrir esas conexiones es creativo y una satisfacción en la investigación?

Para mí es una de las mayores satisfacciones de este oficio, y creo que es también donde está la parte más creativa de las matemáticas. Empresas dedicadas a la IA como OpenAI  piensan que investigar en matemáticas consiste en aplicar reglas y hacer cálculos, o que el objetivo es demostrar una conjetura, o resolver un problema famoso. Pero a mí, por sí sola, una demostración no me interesa. Lo que me importa es el método: si para resolver un problema hay que inventar herramientas nuevas, mirar las cosas de otra manera, abrir un camino que otros puedan recorrer después, entonces el problema merece la pena. Si en cambio la solución llega por un argumento técnico, sin ideas nuevas y que no sirve para nada más, me deja indiferente, aunque el resultado sea correcto.

«Lo decisivo para mí es otra cosa: darte cuenta de que dos objetos que parecían no tener nada que ver son en realidad el mismo, visto desde ángulos distintos»

¿Y eso es lo creativo?

Lo decisivo para mí es otra cosa: darte cuenta de que dos objetos que parecían no tener nada que ver son en realidad el mismo, visto desde ángulos distintos. Ahí nacen los métodos ricos, porque son un puente entre dos mundos que te permite traducir técnicas de un lado a otro, y eso no lo dicta ningún algoritmo. Requiere imaginación, intuición y a veces bastante paciencia, porque suele llegar después de mucho tiempo mirando un problema sin que pase nada. Pierre Deligne lo decía de manera muy sencilla en una entrevista tras recibir el Premio Abel: en matemáticas, “it is always very nice when two different frames of mind come together” (es siempre muy agradable cuando dos modos de pensar distintos se encuentran). Explicaba que en geometría algebraica se puede jugar con la intuición del álgebra, donde se manipulan ecuaciones, y con la de la geometría, donde se dibujan figuras, y que lo fecundo es hacer que una trabaje contra la otra. Esa es exactamente la experiencia de la que hablo.

Pero, en general, más allá de esos éxtasis personales, si me lo permites, la investigación actual es un trabajo social, de equipo, ¿no?

Sí, es un trabajo profundamente colectivo. Y en eso las matemáticas tienen una tradición muy antigua. Bertrand Russell describe la comunidad que fundó Pitágoras como una forma de vida compartida, donde hombres y mujeres eran admitidos en igualdad de condiciones. Los bienes eran comunes y hasta los descubrimientos científicos se consideraban colectivos (“even scientific discoveries were deemed collective”). Me gusta pensar que algo de ese espíritu sigue vivo. Estas conexiones casi nunca las ve una sola persona: surgen de conversaciones con colegas que vienen de la geometría, el álgebra, el análisis o la física, y cada uno aporta una manera distinta de mirar. Por eso me parece tan valioso construir grupos donde esas disciplinas dialoguen, como hemos intentado hacer en nuestro SYMCREA.

«La teoría de Teichmüller estudia precisamente eso: el conjunto de todas las formas geométricas posibles que se pueden dar a una misma superficie»

A partir de 2008 comenzaste a trabajar en teoría de Teichmüller y posteriormente en su versión cuántica. Para alguien que no sea matemático, ¿cómo explicarías qué estudia la teoría de Teichmüller y qué significa “cuantizar” una estructura? ¿Tiene alguna relación con la computación cuántica? 

Imagina la superficie de un donut, o de un pretzel con dos agujeros. Para un topólogo, todas las versiones de esa superficie son “la misma”: puedes estirarla y deformarla sin romperla. Pero si quieres medir en ella, con distancias y ángulos, hay muchísimas maneras de hacerlo: un donut puede ser gordo o delgado, con el agujero grande o pequeño. La teoría de Teichmüller estudia precisamente eso: el conjunto de todas las formas geométricas posibles que se pueden dar a una misma superficie. Es como un mapa en el que cada punto es una forma distinta, y dos puntos están cerca si las formas se parecen.

Un mapa compartido…

Exacto, pero lo sorprendente es que ese mapa es un objeto matemático riquísimo. Por ejemplo, para una superficie con dos agujeros hacen falta seis números para describir una forma, y el espacio de todas las formas tiene su propia geometría, con simetrías que vienen de las maneras de recolocar la superficie sobre sí misma. Al mismo tiempo, esas formas se pueden describir de manera algebraica, y eso conecta la teoría con la geometría hiperbólica, con los grupos de simetría y con las ecuaciones diferenciales. También aparece en la física: las superficies son, por ejemplo, las trayectorias de una cuerda al moverse en el espacio, y la teoría de Teichmüller es el lenguaje natural para estudiar todas las formas posibles de esas trayectorias.

Y entonces, ¿cómo lo conectas con la cuántica?

La forma más sencilla para explicar la cuantización es pensarla como la adición de información. Imaginemos un restaurante con diez mesas. Un día el restaurador recibe dos reservas de seis personas, y otro día seis reservas de dos personas. En ambos casos los comensales son doce, pero las mesas libres no: en el primer caso quedan ocho, en el segundo solo cuatro. El producto ordinario, dos por seis o seis por dos, solo ve el número total de personas y no distingue entre las dos situaciones. Lo que falta es una información adicional, y la cuantización consiste precisamente en añadirla. Se deforma el producto en una serie de términos: el primero sigue siendo el producto de siempre, es decir, el número de comensales, mientras que el segundo tiene en cuenta cuántas mesas quedan libres. El resultado es que el orden de los factores pasa a ser importante: “dos reservas de seis” y “seis reservas de dos” dejan de ser lo mismo. Es el fenómeno que en física cuántica llamamos no conmutatividad, y el número que mide cuánto nos alejamos del producto ordinario es, a grandes rasgos, la constante de Planck.

«La forma más sencilla para explicar la cuantización es pensarla como la adición de información»

Me quedo el ejemplo. En otro ámbito, ¿por qué crees muchos matemáticos abandonan la academia actualmente para ir a trabajar a bancos o consultoras? ¿Tan mal pagada está la investigación o es que se paga mucho en esos sectores?

Creo que las dos cosas son ciertas, pero el dinero no es toda la historia. La investigación está peor pagada que los bancos o las consultoras, sobre todo al principio de la carrera, pero lo que más pesa es el sacrificio personal que exige. Un joven matemático suele encadenar contratos temporales durante años, con una incertidumbre enorme sobre qué pasará al terminar cada uno. Y a menudo eso implica cambiar de país, o incluso de continente, cada dos o tres años, con todo lo que supone para la vida de pareja, la familia y los amigos. Frente a eso, los bancos y las consultoras ofrecen mejores salarios y, sobre todo, seguridad y estabilidad, y un matemático tiene una formación muy valorada en esos sectores. No me sorprende que mucha gente, después de un doctorado o un par de postdocs, decida que merece la pena tomar ese camino. Me parece una decisión perfectamente razonable.

¿Y que te anima a quedarte en la investigación?

Para quedarse en la investigación hace falta una pasión muy grande, acompañada de capacidad y también de un poco de suerte. Pero esa pasión se alimenta de algo muy poderoso: la alegría y la exaltación que produce la matemática son enormes. Entender por fin algo que se te resistía, ver aparecer una conexión inesperada o encontrar una idea nueva te llena de una energía que pocas profesiones pueden ofrecer. Y poder dedicar la vida a eso, rodeada de colegas y estudiantes con la misma curiosidad, es un privilegio inmenso. Por eso, a pesar de las dificultades, para mí ha merecido la pena, y sigo animando a quienes sienten esa llamada a intentarlo.

Vivimos además una época en la que la inteligencia artificial ha entrado con fuerza en las matemáticas. ¿Crees que la IA puede cambiar la manera en que los matemáticos investigan?  

Sí, creo que la IA ya está cambiando la manera de trabajar, aunque de una forma más modesta y más práctica de lo que se suele contar. En mi caso la uso sobre todo en tres cosas. La primera es el apoyo simbólico y computacional: revisar cálculos que antes hacíamos a mano o con herramientas clásicas de álgebra computacional, detectar errores más rápido y proponer simplificaciones alternativas. La segunda es la lectura de la literatura: en mi campo se cruzan áreas que hablan lenguajes parecidos pero distintos, y una IA puede ayudarme a digerir y relacionar artículos técnicos de varias subdisciplinas mucho más deprisa que una revisión manual. La tercera es la parte más rutinaria de la escritura: corregir erratas, comprobar la bibliografía y adaptar un texto al formato exacto de una revista. Son tareas que no requieren ideas, pero que consumen mucho tiempo, y es ahí donde estas herramientas me resultan útiles. Lo que distingue a estas herramientas de las anteriores, como Mathematica o los buscadores de arXiv, es que combinan en un mismo flujo de trabajo el razonamiento en lenguaje natural con soltura técnica y simbólica, y así se reduce el esfuerzo de pasar constantemente del cálculo a la lectura y a la escritura.

Luego está el caso reciente de las ecuaciones de Navier Stokes, o el descubrimiento asistido de diversas nuevas estructuras o conjeturas, que han presentado algunas compañías…

Soy muy escéptica con los anuncios recientes de empresas de IA que dicen haber resuelto problemas abiertos. Me niego a llamarlos artículos: son sobre todo notas de prensa y, en buena medida, operaciones de publicidad. A menudo consisten en sucesiones de afirmaciones sin una lógica que las sostenga. E incluso cuando sí hay lógica, se trata de lo que decía antes: aplicar reglas y hacer cálculos. No inventan métodos nuevos ni introducen ideas nuevas, y para mí eso es lo que da valor a una solución y a una demostración.

¿Qué crees seguirá siendo  humano en el descubrimiento matemático y qué pasará a ser dominio de la máquina?

Lo que seguirá siendo humano es lo más creativo: decidir qué preguntas merece la pena hacerse, ver que dos mundos distintos están conectados, crear un método nuevo que otros puedan usar después. A las máquinas les corresponderá cada vez más el trabajo de cálculo, de comprobación y de búsqueda, que nos dejará más tiempo para pensar. Veremos hasta dónde llegan, pero hasta ahora no he visto nada que se parezca a una idea nueva.

«A las máquinas les corresponderá cada vez más el trabajo de cálculo, de comprobación y de búsqueda, que nos dejará más tiempo para pensar»

Para los docentes, ¿crees que en la enseñanza de las matemáticas se motiva a los estudiantes o todavía se enseñan como algo muy difícil y aburrido? ¿Qué recomendarías a los docentes del área?

Creo que en los últimos veinte o treinta años se han dado pasos muy grandes. Hoy hay mucho más esfuerzo por acercar las matemáticas a la vida cotidiana y por motivar a los estudiantes, y eso se nota. Todavía queda trabajo por hacer, y hay clases donde la matemática se sigue presentando como algo difícil y aburrido, pero la tendencia es positiva. Lo que más recomendaría a los docentes es poner en el centro el aspecto lúdico de las matemáticas. Las matemáticas son, en buena parte, un juego: hay puzles, retos, patrones que sorprenden, y el placer de descubrir que algo encaja. A mí me pasó en primero de primaria, cuando una maestra jovencísima nos hacía jugar con conjuntos, y de ahí nació mi amor por esta disciplina. Un buen docente puede despertar esa curiosidad en cualquier niño, y una vez despierta, el esfuerzo que exige aprender deja de ser una carga y pasa a ser parte de la diversión.

Para los estudiantes, ¿qué aconsejarías a aquellos que se bloquean en las matemáticas?

Lo primero que les diría es que el bloqueo casi nunca tiene que ver con la capacidad. Muchas veces nace de una mala experiencia: un profesor que presentó las matemáticas como un conjunto de reglas que hay que memorizar, que no dejó espacio para equivocarse o que hizo sentir tonto a quien preguntaba. Si eso te ha pasado, la culpa no es tuya. Es importante saberlo, porque quien cree que “no sirve para las matemáticas” se cierra la puerta antes de intentarlo.

Eso hace mucho daño en la educación, por supuesto.

Después les diría que las matemáticas se construyen paso a paso, y que un hueco en lo que viene antes lo bloquea todo después. Si te pierdes, vuelve atrás sin vergüenza hasta el punto en que lo entendías. Yo misma llegué a la universidad completamente desprevenida: mis compañeros hablaban de épsilons y deltas, como te dije, y apenas sabía lo que era una función. Eso no me impidió llegar a ser matemática. Pero tuve que volver atrás y construir las bases. También les diría que pregunten. Incluso lo que parece una pregunta tonta. Y les recomendaría que se permitan equivocarse. Los matemáticos nos equivocamos todo el tiempo, y no hay descubrimiento sin ensayos fallidos. Y por último, que busquen ese lado lúdico: los puzles, los retos, los patrones. Cuando las matemáticas dejan de ser una obligación y se convierten en un juego, el bloqueo suele empezar a ceder.

Por último, después de años trabajando con problemas muy abstractos, ¿hay algún tema o problema que aún te sorprenda o excite como cuando empezaste? 

¡Siempre! Para mí esa sorpresa no se ha apagado nunca: cada vez que entiendo algo nuevo o veo aparecer una conexión que no esperaba, siento la misma emoción que sentía al principio. Y creo que es lo que me mantiene en este oficio. El día en que deje de ocurrir, me retiraré y me dedicaré a otras cosas que también me dan alegría, como cocinar o jugar al mahjong. Pero, por suerte, ese día todavía no ha llegado. 

Si me permites, en tus ojos se ve esa pasión. Marta, muchas gracias por todo. 

De nada, gracias a vosotros. Un saludo a los lectores de Educational Evidence.

Fuente: educational EVIDENCE

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