Marta Mazzocco: “Les matemàtiques són en bona part un joc”

Marta Mazzocco. / Foto cortesia de l’autora.

Llicència Creative Commons

Antoni Hernández-Fernández

Marta Mazzocco és, des del 2024, professora de recerca ICREA a Barcelona, ​​a la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), on va cofundar la unitat d’excel·lència SYMCREA juntament amb Eva Miranda. Física matemàtica, treballa en sistemes integrables, a la cruïlla entre l’anàlisi, la geometria, la física matemàtica i l’àlgebra. Es va doctorar a la SISSA (Trieste) el 1998 i després va ocupar llocs al MSRI de Berkeley, Oxford, Cambridge, Manchester, Loughborough i Birmingham, on va fundar el grup de Geometria i Física Matemàtica.

Ha obtingut al voltant de 2 milions d’euros en finançament per a investigació, i va ser Ponent Distingida de la Societat Matemàtica Europea (EMS) a la conferència Poisson 2024, i és membre del consell assessor científic del prestigiós repositori científic en obert arXiv.

Marta, sobretot moltes gràcies per atendre Educational Evidence. Per començar, podries explicar-nos una mica sobre la teva trajectòria i sobre com vas arribar a dedicar-te a les matemàtiques i, en particular, a investigar a Barcelona?

Sempre m’han agradat les matemàtiques. A primer de primària vaig tenir una mestra joveníssima que ens feia jugar amb la teoria de conjunts, i d’aquí va néixer el meu amor per aquesta disciplina. Tot i que els meus pares gairebé em van obligar a estudiar el liceu clàssic, que a Itàlia era tradicionalment considerat la millor escola, vaig decidir matricular-me a Física. Vaig arribar completament desprevinguda: els meus companys parlaven d’èpsilons i deltes, i jo amb prou feines sabia què era una funció! Durant el doctorat vaig conèixer el meu marit, que aleshores era postdoc en mecànica estadística. Quan va arribar el moment de sol·licitar postdocs, vam mirar junts el mapa del món i vam posar banderetes on cadascú tenia col·legues al seu camp. Les interseccions eren tres: Estats Units, Regne Unit i Japó. Com que ens sentíem profundament europeus, vam triar el Regne Unit (tot i que vaig passar vuit mesos a Berkeley), i allà vam acabar vivint 25 anys! En aquest temps van canviar moltes coses…

Us va afectar el Brexit?

Doncs sí. Catorze anys de governs conservadors van deteriorar greument l’economia i van deixar les universitats en una situació molt precària. El Brexit va normalitzar certes actituds xenòfobes i l’ambient es va tornar difícil de suportar. Vam començar a buscar una sortida, i ICREA la va oferir: un treball fantàstic a una ciutat extraordinària. Aquí, juntament amb Eva Miranda, vaig poder crear SYMCREA, una unitat d’excel·lència a la interfície entre geometria i física matemàtica, i trobar un entorn científic molt estimulant, en una ciutat on viure és un plaer.

Defineixes el teu camp com a “mathematical physics” i treballes amb problemes motivats per la física, però que condueixen a estructures matemàtiques abstractes. Què és exactament la física matemàtica i què la diferència de la matemàtica pura o de la física teòrica?

És una pregunta difícil perquè les fronteres no són nítides. Diria que la física teòrica busca construir models que expliquin i prediguin els fenòmens de la natura, i sovint fa servir mètodes que no són rigorosos des del punt de vista matemàtic però que funcionen. La matemàtica pura, en canvi, desenvolupa estructures per si mateixes, per la coherència interna i la bellesa, sense necessitat d’una motivació externa. La física matemàtica se situa entre totes dues. Parteix de problemes que neixen de la física, com equacions, simetries o models, i els estudia amb tot el rigor de la matemàtica. El fet fascinant és que, en fer-ho, apareixen estructures geomètriques, algebraiques i analítiques d’una bellesa inesperada, que s’encaixen d’una manera gairebé providencial i fan que el problema sigui resoluble en algun sentit. Aquesta és precisament l’essència dels sistemes integrables, la meva àrea de treball.

«La bellesa inesperada és el moment en què estructures que semblaven pertànyer a mons diferents resulten ser la mateixa cosa vista des d’angles diferents»

Què és aquesta “unexpected beauty” o aquesta bellesa inesperada que dius cerques en la resolució de problemes?

Per mi, la bellesa inesperada és el moment en què estructures que semblaven pertànyer a mons diferents resulten ser la mateixa cosa vista des d’angles diferents. Parts d’un problema concret, per exemple una equació diferencial no lineal, i de sobte apareixen la geometria d’un grup de simetries, un objecte algebraic o una construcció de la física, encaixant entre si d’una manera que ningú no hauria pogut preveure. Aquesta sensació que «això no pot ser casualitat» és el que anomeno bellesa.

La bellesa pot ser també una guia per descobrir nous resultats? Pots posar-ne algun exemple?

Un exemple que va marcar el meu camí va ser la meva tesi doctoral. Estudiava les solucions algebraiques de l’equació de Painlevé VI, una equació diferencial difícil de resoldre, i va resultar que es podien classificar mitjançant grups de reflexió, és a dir, mitjançant simetries geomètriques com les de l’icosàedre. Així, un problema d’anàlisi acabava parlant el llenguatge de la geometria i l’àlgebra, i això no ho esperava ningú…

Per tant, responent la primera pregunta, sí, crec que la bellesa pot ser una guia per descobrir. Quan una estructura és massa elegant per ser accidental, sol indicar que darrere hi ha una teoria més profunda que encara no hem entès. Molts matemàtics i físics han seguit aquesta intuïció, i sovint funciona. Això sí, la bellesa és una brúixola i no una demostració: et diu cap on mirar, però després cal fer la feina rigorosa per comprovar que la intuïció era correcta. De vegades allò que semblava bonic resulta ser fals, i això també forma part de l’ofici.

«A vegades el que semblava bonic resulta ser fals, i això també forma part de l’ofici»

Una part rellevant de la teva carrera ha estat dedicada a les equacions de Painlevé, que esmentaves, unes equacions amb propietats matemàtiques molt riques. Què tenen especialment aquestes equacions i per què continuen sent importants més d’un segle després de la seva aparició?

Per entendre les equacions de Painlevé cal remuntar-se a Sofia Kovalevskaya, a finals del segle XIX. Quan estudiava la baldufa (el moviment d’un sòlid rígid al voltant d’un punt fix), es va preguntar quan es pot considerar “resoluble” un sistema d’equacions diferencials no lineal. La seva idea va ser demanar que les solucions, vistes com a funcions del temps complex, es puguin expandir en sèries de Laurent al voltant de qualsevol punt del pla complex on l’equació sigui definida. Amb aquest criteri va trobar un cas integrable completament nou, que avui porta el seu nom. Va ser una manera profunda de detectar la integrabilitat: no mirar la forma de l’equació, sinó el comportament analític de les solucions.

Però se’n diu equacions de Painlevé?

Poc després, Paul Painlevé i la seva escola van portar aquesta idea a les equacions diferencials no lineals de segon ordre, i es van preguntar quines tenen la propietat que les singularitats mòbils siguin sempre pols, és a dir, sense punts de ramificació que depenguin de les condicions inicials. En classificar-les, van aparèixer sis equacions noves, les de Painlevé I a VI, les solucions de les quals defineixen funcions noves, les transcendents de Painlevé. Per a les equacions no lineals, tenen un paper comparable al de les funcions especials clàssiques, com les de Bessel o Airy, per a les lineals. L’especial d’aquestes equacions és que, no lineals, tenen una estructura extraordinàriament rica. Es poden escriure com a deformacions isomonodròmiques d’equacions lineals, és a dir, com a condicions perquè certes dades de monodromia romanguin constants. Això les connecta amb la geometria dels espais de mòduls, amb simetries de tipus grup de reflexió i amb estructures algebraiques com les àlgebres de Hecke afins dobles, en què jo treballo.

A veure, això està pujant de nivell, des de la baldufa… (riu). Per als lectors profans…

Continuen sent importants més d’un segle després perquè apareixen una vegada i una altra en contextos molt diferents: matrius aleatòries, mecànica estadística, gravetat quàntica, teoria de cordes i sistemes integrables. I segueixen plantejant preguntes obertes, amb aplicacions a molts camps, per exemple sobre quantització o la seva relació amb la simetria especular, per la qual cosa continuen atraient noves generacions d’investigadors.

Apassionant. La teva investigació mostra connexions creatives amb formes i objectes que, a primer cop d’ull, semblen pertànyer a mons diferents. Fins a quin punt descobrir aquestes connexions és creatiu i una satisfacció a la recerca?

Per mi és una de les satisfaccions més grans d’aquest ofici, i crec que és també on hi ha la part més creativa de les matemàtiques. Empreses dedicades a la IA com a OpenAI pensen que investigar en matemàtiques consisteix a aplicar regles i fer càlculs, o que l’objectiu és demostrar una conjectura, o resoldre un problema famós. Però a mi, per si mateixa, una demostració no m’interessa. El que m’importa és el mètode: si per resoldre un problema cal inventar eines noves, mirar les coses d’una altra manera, obrir un camí que els altres puguin recórrer després, aleshores el problema val la pena. Si en canvi la solució arriba per un argument tècnic, sense idees noves i que no serveix de res més, em deixa indiferent, encara que el resultat sigui correcte.

«El que és decisiu per a mi és una altra cosa: adonar-te que dos objectes que semblaven no tenir res a veure són en realitat el mateix, vist des d’angles diferents»

I això és el que és creatiu?

El que és decisiu per a mi és una altra cosa: adonar-te que dos objectes que semblaven no tenir res a veure són en realitat el mateix, vist des d’angles diferents. Aquí neixen els mètodes rics, perquè són un pont entre dos mons que et permet traduir tècniques de banda a banda, i això no ho dicta cap algorisme. Requereix imaginació, intuïció i de vegades força paciència, perquè sol arribar després de molt de temps mirant un problema sense que passi res. Pierre Deligne ho deia de manera molt senzilla en una entrevista després de rebre el Premi Abel: en matemàtiques, “it is always very nice when two different frames of mind come together” (és sempre molt agradable quan dues maneres de pensar diferents es troben). Explicava que en geometria algebraica es pot jugar amb la intuïció de l’àlgebra, on es manipulen equacions, i amb la de la geometria, on es dibuixen figures, i que el més fecund és fer que una treballi contra l’altra. Aquesta és exactament l’experiència de què parlo.

Però, en general, més enllà d’aquests èxtasis personals, si m’ho permeteu, la investigació actual és un treball social, d’equip, oi?

Sí, és una feina profundament col·lectiva. I en això, les matemàtiques tenen una tradició molt antiga. Bertrand Russell descriu la comunitat que va fundar Pitàgores com una forma de vida compartida, on homes i dones eren admesos en igualtat de condicions. Els béns eren comuns i fins i tot els descobriments científics es consideraven col·lectius (“even scientific discoveries were deemed collective”). M’agrada pensar que alguna cosa d’aquest esperit continua viva. Aquestes connexions gairebé mai no les veu una sola persona: sorgeixen de converses amb col·legues que vénen de la geometria, l’àlgebra, l’anàlisi o la física, i cadascú aporta una manera diferent de mirar. Per això em sembla tan valuós construir grups on aquestes disciplines dialoguin, com hem intentat fer al nostre SYMCREA.

«La teoria de Teichmüller estudia precisament això: el conjunt de totes les formes geomètriques possibles que es poden donar a una mateixa superfície»

A partir del 2008 vas començar a treballar en teoria de Teichmüller i posteriorment en la seva versió quàntica. Per a qui no sigui matemàtic, com explicaries què estudia la teoria de Teichmüller i què significa “quantitzar” una estructura? Té alguna relació amb la computació quàntica?

Imagina la superfície d’un dònut o d’un brètzel amb dos forats. Per a un topòleg, totes les versions d’aquesta superfície són “la mateixa”: la pots estirar i deformar sense trencar-la. Però si hi vols mesurar, amb distàncies i angles, hi ha moltíssimes maneres de fer-ho: un dònut pot ser gros o prim, amb el forat gran o petit. La teoria de Teichmüller estudia precisament això: el conjunt de totes les formes geomètriques possibles que es poden donar a una mateixa superfície. És com un mapa on cada punt és una forma diferent, i dos punts són a prop si les formes s’assemblen.

Un mapa compartit…

Exacte, però el que és sorprenent és que aquest mapa és un objecte matemàtic riquíssim. Per exemple, per a una superfície amb dos forats calen sis números per descriure una forma, i l’espai de totes les formes té la seva pròpia geometria, amb simetries que vénen de les maneres de recol·locar la superfície sobre si mateixa. Alhora, aquestes formes es poden descriure de manera algebraica, i això connecta la teoria amb la geometria hiperbòlica, amb els grups de simetria i amb les equacions diferencials. També apareix a la física: les superfícies són, per exemple, les trajectòries d’una corda en moure’s a l’espai, i la teoria de Teichmüller és el llenguatge natural per a estudiar totes les formes possibles d’aquestes trajectòries.

I aleshores, com ho connectes amb la quàntica?

La manera més senzilla per explicar la quantització és pensar-la com l’addició d’informació. Imaginem un restaurant amb deu taules. Un dia el restaurador rep dues reserves de sis persones i un altre dia sis reserves de dues persones. En tots dos casos els comensals són dotze, però les taules lliures no: en el primer cas en queden vuit, en el segon només quatre. El producte ordinari, dos per sis o sis per dos, només hi veu el nombre total de persones i no distingeix entre les dues situacions. El que manca és una informació addicional, i la quantització consisteix precisament a afegir-la. El producte es deforma en una sèrie de termes: el primer segueix sent el producte de sempre, és a dir, el nombre de comensals, mentre que el segon té en compte quantes taules queden lliures. El resultat és que l’ordre dels factors passa a ser important: dues reserves de sis i sis reserves de dos deixen de ser el mateix. És el fenomen que en física quàntica anomenem no commutativitat, i el nombre que mesura quant ens allunyem del producte ordinari és, a grans trets, la constant de Planck.

«La manera més senzilla per explicar la quantització és pensar-la com l’addició d’informació»

Em quedo l’exemple. En un altre àmbit, per què creus que molts matemàtics abandonen l’acadèmia actualment per anar a treballar a bancs o consultores? Tan mal pagada està la investigació o és que es paga molt en aquests sectors?

Crec que les dues coses són certes, però els diners no són tota la història. La investigació està pitjor pagada que els bancs o les consultores, sobretot al principi de la carrera, però el que pesa més és el sacrifici personal que exigeix. Un jove matemàtic sol encadenar contractes temporals durant anys, amb una incertesa enorme sobre què passarà en acabar-ne cadascun. I sovint això implica canviar de país, o fins i tot de continent, cada dos o tres anys, amb tot el que suposa per a la vida de parella, la família i els amics. Davant d’això, els bancs i les consultores ofereixen millors salaris i, sobretot, seguretat i estabilitat, i un matemàtic té una formació molt valorada en aquests sectors. No em sorprèn que molta gent, després d’un doctorat o un parell de postdocs, decideixi que val la pena agafar aquest camí. Em sembla una decisió perfectament raonable.

I que t’anima a quedar-te a la investigació?

Per a quedar-se a la investigació cal una passió molt gran, acompanyada de capacitat i també d’una mica de sort. Però aquesta passió s’alimenta de quelcom molt poderós: l’alegria i l’exaltació que produeix la matemàtica són enormes. Entendre per fi una cosa que se’t resistia, veure aparèixer una connexió inesperada o trobar una idea nova t’omple d’una energia que poques professions poden oferir. I poder dedicar-hi la vida, envoltada de col·legues i estudiants amb la mateixa curiositat, és un privilegi immens. Per això, malgrat les dificultats, per mi ha valgut la pena, i continuo animant els qui senten aquesta crida a intentar-ho.

Vivim a més a més una època en què la intel·ligència artificial ha entrat amb força a les matemàtiques. Creus que la IA pot canviar la manera com els matemàtics investiguen?

Sí, crec que la IA ja està canviant la manera de treballar, encara que d’una manera més modesta i més pràctica del que se sol explicar. En el meu cas la faig servir sobretot en tres coses. La primera és el suport simbòlic i computacional: revisar càlculs que fèiem abans a mà o amb eines clàssiques d’àlgebra computacional, detectar errors més ràpid i proposar simplificacions alternatives. La segona és la lectura de la literatura: al meu camp es creuen àrees que parlen llenguatges semblants però diferents, i una IA em pot ajudar a digerir i relacionar articles tècnics de diverses subdisciplines molt més de pressa que una revisió manual. La tercera és la part més rutinària de l’escriptura: corregir errades, comprovar la bibliografia i adaptar un text al format exacte d’una revista. Són tasques que no requereixen idees, però que consumeixen molt de temps, i és aquí on aquestes eines em resulten útils. El que distingeix aquestes eines de les anteriors, com ara Mathematica o els cercadors d’arXiv, és que combinen en un mateix flux de treball el raonament en llenguatge natural amb fluïdesa tècnica i simbòlica, i així es redueix l’esforç de passar constantment del càlcul a la lectura i a l’escriptura.

Després hi ha el cas recent de les equacions de Navier Stokes, o el descobriment assistit de diverses noves estructures o conjectures, que han presentat algunes companyies…

Sóc molt escèptica amb els anuncis recents d’empreses d’IA que diuen que han resolt problemes oberts. Em nego a anomenar-los articles: són sobretot notes de premsa i, en bona mesura, operacions de publicitat. Sovint consisteixen en successions d’afirmacions sense una lògica que les sostingui. I fins i tot quan sí que hi ha lògica, es tracta del que deia abans: aplicar regles i fer càlculs. No inventen mètodes nous ni introdueixen idees noves, i per mi això és el que dóna valor a una solució i a una demostració.

Què creus continuarà sent humà en el descobriment matemàtic i què passarà a ser domini de la màquina?

El que seguirà sent humà és el més creatiu: decidir quines preguntes val la pena fer-se, veure que dos mons diferents estan connectats, crear un mètode nou que altres puguin fer servir després. A les màquines els correspondrà cada cop més el treball de càlcul, de comprovació i de cerca, que ens deixarà més temps per pensar. Veurem fins on arriben, però fins ara no he vist res que s’assembli a una nova idea.

«A les màquines els correspondrà cada cop més el treball de càlcul, de comprovació i de cerca, que ens deixarà més temps per pensar»

Per als docents, creus que en l’ensenyament de les matemàtiques es motiva els estudiants o encara s’ensenyen com una cosa molt difícil i avorrida? Què recomanaríeu als docents de l’àrea?

Crec que en els darrers vint o trenta anys s’han fet passos molt grans. Avui hi ha molt més esforç per acostar les matemàtiques a la vida quotidiana i per motivar els estudiants, i això es nota. Encara queda feina per fer, i hi ha classes on la matemàtica se segueix presentant com una cosa difícil i avorrida, però la tendència és positiva. El que recomanaria més als docents és posar al centre l’aspecte lúdic de les matemàtiques. Les matemàtiques són, en bona part, un joc: hi ha trencaclosques, reptes, patrons que sorprenen, i el plaer de descobrir que alguna cosa encaixa. A mi em va passar a primer de primària, quan una mestra joveníssima ens feia jugar amb conjunts, i d’aquí va néixer el meu amor per aquesta disciplina. Un bon docent pot despertar aquesta curiositat en qualsevol nen, i un cop desperta, l’esforç que exigeix ​​aprendre deixa de ser una càrrega i passa a ser part de la diversió.

Per als estudiants, què aconsellaries a aquells que es bloquegen a les matemàtiques?

El primer que els diria és que el bloqueig gairebé mai no té res a veure amb la capacitat. Moltes vegades neix d’una mala experiència: un professor que va presentar les matemàtiques com un conjunt de regles que cal memoritzar, que no va deixar espai per equivocar-se o que va fer sentir ximple qui preguntava. Si t’ha passat això, la culpa no és teva. És important saber-ho, perquè qui creu que “no serveix per a les matemàtiques” es tanca la porta abans d’intentar-ho.

Això fa molt de mal a l’educació, és clar.

Després els diria que les matemàtiques es construeixen pas a pas, i que un forat en el que ve abans ho bloqueja tot després. Si et perds, torna enrere sense vergonya fins al punt que ho entenies. Jo mateixa vaig arribar a la universitat completament desprevinguda: els meus companys parlaven d’èpsilons i deltes, com et vaig dir, i amb prou feines sabia què era una funció. Això no em va impedir convertir-me en matemàtica. Però vaig haver de tornar enrere i construir-ne les bases. També els diria que preguntin. Fins i tot el que sembla una pregunta ximple. I els recomanaria que es permetessin equivocar-se. Els matemàtics ens equivoquem tot el temps, i no hi ha descoberta sense assaigs fallits. I finalment, que busquin aquest costat lúdic: els puzles, els reptes, els patrons. Quan les matemàtiques deixen de ser una obligació i es converteixen en un joc, el bloqueig sol començar a cedir.

Finalment, després d’anys treballant amb problemes molt abstractes, hi ha algun tema o problema que encara et sorprengui o exciti com quan vas començar?

Sempre! Per a mi aquesta sorpresa no s’ha apagat mai: cada vegada que entenc alguna cosa nova o veig aparèixer una connexió que no esperava, sento la mateixa emoció que sentia al principi. I crec que és el que em manté en aquest ofici. El dia que això deixi de passar, em retiraré i em dedicaré a altres coses que també em donen alegria, com ara cuinar o jugar al mahjong. Però, per sort, aquest dia encara no ha arribat.

Si em permets, et diré que als teus ulls es veu aquesta passió. Marta, moltes gràcies per tot.

De res, gràcies a vosaltres. Una salutació als lectors d’Educational Evidence.

Font: educational EVIDENCE

Drets: Creative Commons